الامثلية في الانتاج

تحديد الحجم الامثل واحسن مستوى الانتاج :-
وهذا هو اشكالاً لموضوع الامثلية (Optimization) وهو تحقيق احسن مستوى للانتاج الذي يعظم الربح والحجم الامثل للانتاج وبالتالي تدنية التكاليف وتعظيم الانتاج ويمكن توضيح ذلك من خلال الرسم البياني الاتي :-


ومن الشكل نلاحظ ان منحنى Mcيقطع منحنى
MR في نقطة((A التي تقابل اعلى نقطة دالة على
الربع(B) وبالتالي تحقيق اعظم ربح.













مثال / اذا كانت دالة التكاليف الكلية لمشروع ينتج السمنت وهي : 2
Tc=258-24.2x+11X
وكان الايراد 2 MR=115
وحيث ان 258 هي التكاليف الثابتة وان (-24.2x+11X) هي التكاليف المتغيرة .
أ/ اوجد احسن مستوى للانتاج وحجم الناتج الامثل

أ /احسن مستوى للانتاج وحجم الناتج الامثل MR=MC
MC= dtc =-24.2+22x dx MC=MR ?
-24.2+22x=115 ?
احسن مستوى للانتاج X= 139.2 =6.327 ?
22



ب- حجم الانتاج والامثل يمكن استخراجه من خلال المساواة بين :-
-1 2 MC=ATC
ATC= TC=258-24.2x+11X=258X-24.2+11X X X

MC=-24.2+22X -1 - 24?.2 +22X =258X-24?.2+11X ?
-1
2 2 =0 11X-258X
11X=258 11X=258 X=258
11 X
?
X=?258
11
مقدار الحجم الامثل للانتاج وحدة انتاجX=+4.842 ?
(نختار القيمة الموجبة)

مثال/اذا كانت دالة الكلية في احدى المنشآت الصناعية
P=41-2Q
2 وكانت دالة التكاليف الكلية 2 Tc=9+5X+1 X
4
جد :
1ـ مستوى الانتاج الامثل الذي يعظم الربح
2ـ حجم الانتاج الامثل
3ـ حجم الناتج عند نقطة التعادل .
4ـ حجم الناتج الذي يعطم الايراد الكلي .
الحل/ 1- لاستخراج أحسن مستوى للانتاج نتبع مايلي :
أـ المساواة بين Mc=MR
( الطريقة الاولى ) Q( TR =P.Q = ( 41- 2Q
2 41Q – 2Q =
MR = dTR = 41 – 4Q =41 - 4 x
dq d
ملاحظة :يتم تحويل من مارث ليه الى رياضية لغرض توحيد الحل والسهولة :
MR = dtc = 5 + 1×
2 dq
- MR = Mc
41 – 4 x = 5 + 1x
2
36 = 4 1 x
2 4
X 36 = 3?6 x 2= 8
9 9
2
احسن مستوى للأ نتاج الذي يعظم الربح
ب- الطريقة الثانية ويمكن تحقيق ذلك من خلال دالة الربح حيث ((V هي دالة الربح :
V=TR –TC
2 2
V=41X-2X-(9+5X+1/4X)
2
V=36X-2.25X-9
du =36-4.5X
X= 36 =8? dx
احسن مستوى للانتاج الذي يعظم الربح 4.8
(2)- حجم الناتج الامثل نطبق مايلي :-
Mc=ATc
-1
ATc=Tc=9X+ 5+ 1X
4 -1 X
5?+0.5=9X+5?+0.25X
0.25X= 9
2 x 2
X = 9 >? 0.25X=9
0.25
?
9 X=?
3 =± 6± X= ? 0.25
0.5
3- حجم الناتج عند نقطة التعادل تعتمد على المساواة بين :-
TR=TC 2
TR=P.Q=(41-2Q)Q=41X-2X
2 2
41X-2X=9+5X+1/4X

2
2.25X-36X+9=0

?????? 2
X=+36±?(36)-4(2.25*9)
2*2.25
? حجم الناتج عند نقطة التعادل هي X=15.7
(5) حجم الناتج الذي يعظم الايراد الكلي :
نأخذ المشتقة ل((TR لأنها تعطينا الحد الاعلى والحد الادنى:-
2 2
TR=P.Q=(41-2Q)Q=41Q-2Q=41X-2X
dTR=41-4X=0
dx
اعظم ايراد عند نقطة التعادل X= 41 =10.25 ?
4