مثال حول اعداد خطة انتاجية وتحقيق اعظم ربح ممكن

مثال (8):- معمل للأنتاج الملابس يرغب في عملية انتاج ثلاثة أنواع وهي قمصان, وفانيلات, وسراويل. وان عملية انتاج كل نوع يحتاج الى شخص متخصص في عملية تفصيل كل نوع من يستلم من المعمل أجور مقطوعة اسبوعيا سوى انتج المعمل قطعة هذه الأنواع وهذا الشخص واحدة او اكثرر ان اجور تفصيل النوع الأول في الاسبوع هو $150 , واجور تفصيل النوع الثاني هو $200 , واجو تفصيل النوع الثالث هو $100 . ان عملية انتاج الأنواع الثلاث تتطلب كمية من الأقمشة وعدد من العمال, وان كمية الأقمشة المتاحة في المعمل في 160 بارد مربع، و عدد ساعات العمل المتاحة هو 150 ساعة. وان متطلبات انتاج كل نوع من هذه المنتجات من الاقمشة وساعات العمل وكذلك كلفة الإنتاج وسعر البيع لكل منتج موضح في الجدول رقم (10), وان المعمل يرغب في اعداد خطة انتاجية تحقق له اكبر ربح ممكن من خلال انتاج هذه المنتجات وفقا للقيود المفروضة على العملية الانتاجية.
Example (8):- company manufacturing three type of clothing: shirts, shorts, and pants. The manufacturing of each type of clothing requires the appropriate type of machinery available. The machinery needed to
manufacture each type of clothing must be rented at the following
rates: shirt machinery,$200 per week, short machinery,$150 per week, pants machinery,$100 per week. The manufacture of each type of clothing also requires mounts of cloth and labor shown in table 10.Each week 150 hours of labor and 160 sq yd of cloth are available.
Products-type shirts Labor (hours)3 Cloth (squares yards)4 Sales price $12 Cost $6
Shorts 2 3 $8 $4
pants 6 4 $15 $6


للغرض صياغة المشكلة لابد من تعريف متغيرات القرار:
X1: عدد الوحدات المنتجة من النوع الأول القمصان.
X2: عدد الوحدات المنتجة من النوع الثاني فانيلات.
X3: عدد الوحدات المنتجة من النوع الثالث سراويل.
Y1: =1 أذا تم انتاج اي عدد من المنتج الاول
Y1= 0 اذا لم يتم انتاج اي عدد من المنتج الاول
Y2= 1 اذا تم انتاج اي عدد من المنتج الثاني
Y2= 0 اذا لم يتم انتاج اي عدد من المنتج الثانيس
Y3= اذا تم انتاج اي عدد من المنتج الثالث
Y3= اذا لم يتم انتاج اي عدد من المنتج الثالث
ان مجموع الأرباح المتحققة للمعمل في الاسبوع (مجموع العوائد من بيع المنتجات ) - (مجموع كلف الانتاج) - (مجموع كلف تاجير العامل لتفصيل كل نوع من الأنواع الثلاثة المنتجة)
Weekly profit=(12X1+8X2+15X3 )-(6X1+4X2+8X3 )
(200Y1+150Y2+100Y3)
تصبح دالة الهدف:
Maximize Z= 6X1+4X2+7X3-200Y1-150Y2-100Y3
S.T: 3X1+2X2+6X3<= 150(labor constraint) .....(1)
4X1+3X2+4X3<= 16 (cloth constraint......... (2)
X1,X2,X3>=0,X1,X2,X3 integer..........(3)
Y1,Y2,Y3=0 or 1.......(4)
يجب أن يضاف قيود للمتغيرات الثنائية(Yi) و علاقتها مع متغيرات القرار الرئيسية (Xi) وفق الصيغة التالية:
Xl<=MIY1......(5)
X2<=M2Y2......(6)
X3<=M3Y3...... (7)
حيث تمثل (Mi) قيم كبيرة موجية, ووفق الامكانيات المتاحة المذكورة في القيود(2,3,4) يمكن تحديد قيم (M1=40) , (M2=53) , (M3=25) وهذا يعني اذا تم انتاج عدد من الوحدات من المنتج الاول تكون قيمة0=Yi واذا لم يتم انتاج اي وحدة من المنتج الاول يكون قيمة المتغير الثنائي 0=Y1 , وهذا نفس الاسلوب يكون على المتغيرات الثنائية الأخرى. ومن خلال استخدام البرنامج الحاسب الالكترونية يتم حل النموذج الرياضي و تكون النتائج وفق الاتي:
Z=$75,X3-25 unites,Y3=1,X2=X3=Y1=Y2=0.