صياغة نموذج البرمجة الخطية

صياغة نموذج البرمجة الخطية
الهدف الاساسي من استعمال نماذج البرمجة الخطية هو حل مشكلة ما تواجه الادارة ولذلك يتم الاستعانة بالبرمجة الخطية وهنا يستلزم الامر نقل المشكلة من حالتها الاولية (حالة الكلام او الحالة الانشائية والمتمثلة بالسرد الكلامي لتفاصيل المشكلة كافة) الى حالة المعادلات والمتباينات المعبرة عن المشكلة قيد الدرس 0وهنا يجب ان يوضح نموذج البرمجة الخطية ابعاد المشكلة الاصلية وبتفاصيلها كافة ،وبالاخير يمكن ايجاد الحل الرياضي لنموذج البرمجة الخطية (والذي يمثل اصلا حل للمشكلة المبحوث)0 وللحصول على الحل الامثل وبعد ان يتم تحويل المشكلة من حالتها الاولية الى نموذج البرمجة الخطية (مجموعة من المعادلات والمتباينات بالاضافة الى دالة الهدف) وهنا يتم الحصول على حل النموذج بالطرق الرياضية
اسس بناء النموذج الرياضي:
1-ان لايكون النموذج معقد
2-ان يكون النموذج معبرا عن المشكلة,وليس العكس اي تطويع المشكلة لتناسب النموذج
3-فهم حدود وقابلية النموذج عند التطبيق بحيث لايمكن ان يحوي كل المتغيرات وخاصة السياسية والاجتماعية
4-النموذج هو وسيلة وليس الحقيقة نفسها ولايمكن ان يكون افضل من المعلومات التي تدخل في تكوينه ولهذا فهو لايحل محل صاحب القرار ابدا

الصيغة العامة للبرمجة الخطية:
1-كتابة دالة الهدف
2-كتابة القيود
3-شرط اللاسالب

دالة الهدفObjective Function
Max Or Min Z=C1X1+C2X2+…………………………CnXn
CiXi ?=

القيودSubject To
A11X1+A12X2+………….…A1nXn(?,=,?)b1
A21X1+A22X2+…………………..A2nXn(?,=?)b2
AijXj(?,=,?)bi ?

الشرط السالب Negative Non
X1,X2,X3………………………..Xn?0
مثال :
تنتج احدى الشركات نوعين من السلع نوع A ونوع B تصنع كل سلعة على ثلاث مراحل كل مرحلة في احد الاقسام الثلاثة الموجودة في الشركة فإذا كان تصنيع السلعة A الى ساعتين عمل في القسم الاول وساعة عمل في القسم الثاني واربع ساعات عمل في القسم الثالث ويحتاج تصنيع السلعة B الى ساعتين عمل في كل قسم كما ان عدد ساعات العمل المتاحة في القسم الاول 160 ساعة عمل اسبوعيا وفي القسم الثاني 120 ساعة عمل اسبوعيا وفي القسم الثالث 280 ساعة عمل اسبوعيا واذا كان ربح الوحدة الواحدة من السلعة A (2 دينار) ومن السلعة B (3 دينار) 0

المطلوب:
نموذج برمجة خطية لتحديد حجم الانتاج الامثل من الساعتين اذا كان هدف الشركة هو الحصول على اكبر ربح ممكن
الحل : لتسهيل فهم المشكلة نضعها على شكل جدول
ربح الوحدة بالدينار الوقت اللازم للتصنيع السلعة
القسم الثالث القسم الثاني القسم الاول
2 4 1 2 A
3 2 2 2 B
280 120 160 ساعات العمل المتاحة

تكوين النموذج
تحديد المتغيرات المجهولة والتعبير عنها برموز جبرية
0نفرض عدد الوحدات المنتجة من السلعة Aهو X 1
0نفرض عدد الوحدات المنتجة من السلعة B هو X2
160 2X1+2X2 ?
ويصل الى الشيء نفسه بالنسبة الى القسمين الثاني والثالث وكما في المتباينات التالية
X1+2X2? 120
4X1+ 2X2? 280
ولان عدد الوحدات المنتجة لا يمكن ان يكون سالب وعلى النحو التالي X 2? 0، 0 X1?
اذن دالة الهدف هي
Max Z=2X1+3X2 S.T
2X1 + 2X2 ? 160
X1 + 2X2 ? 120
4X1 + 2X2 ? 280 X1? 0 X2? 0

اشكال صيغ نموذج البرمجة الخطية
1- الصيغة العامة :
شروط الصيغة العامة
1-ان تكون دالة الهدف مكتوبة على شكل Min أوMax
2-ان تكون القيود مكتوبة بأشارة أقل أو يساوي أو على هيأة معادلة اي مساواة
3-ان تكون المتغيرات اما مقيدة او غير مقيدة بألاشارة