منحنى الناتج المتساوي

منحنيات الناتج المتساوي ( المفهوم والخصائص ) :ـ

المفهوم :ـ يمثل التوليفات المختلفلة من عنصري الانتاج وليكن العمل ورأس المال ، وتعتبر كل نقطة عتى هذا المنحى مثلة لنفس المستوى الانتاج ولكن بتوليفات مختلفة من عنصري الانتاج ، والجدول الاتي يمثل ثلاثة توليفات مختلفة من عنصري العمل ورأس المال لانتاج سلفة ما ولتكن (×) .
التوليفة L K الكمية المنتجة
A 1 6 20= L + K 6
B 2 5 20 =L 2 + K 5
C 3 4 20= L 3 + K 4
وهكذا بالنسبة لكل توليفة تقع على نفس منحنى الناتج المتساوي












خصائص منحنيات الناتج المتساوي
1- ان الانتقال منالتوليفة Aالى B يترتب عليهاتغيرات في توليفة الانتاج , حيث ان الحصول على نفس المستوى من الناتج ستؤدي الى تناقص كمية احد العناصر مع تعويض ذلك بزيادة العنصر الاخر ويمكن توضيح ذلك من خلال الشكل الرياضي الاتي :- L ? / K?-
وهذا يفسر شكل منحنى الناتج المتساوي المتناقص وتحدبه نحو نقطة الاصل أي انه ينحدر نحواليمين وهذا يعني انه كلما زادت الوحدات المستخدمة من عنصر العمل قلت الوحدات المستخدمة من عنصر رأس المال لأنتاج نفس المستوى من السلعة .
2- محدبة بإتجاه نقطة الاصل وهذا ناتج عن عملية الاحلال أي احلال احدالعنصرين مكان الاخر أي ان الاهمية الحدية لأحد العنصرين تكون في تناقص دائماً .
3- لايمكن لها ان تتقاطع لأن تقاطعها يعني ان المنحنى الاعلى يعطي نفس مستوى الانتاج كالمنحنى الادنى وهذا غير منطقي والشكل الاتي يوضح ذلك :-
لو نظرن للرسم البياني اعلاه نلاحظ ان النقطة (C) تقع
على منحنى الناتج رقمك (1) وكذلك النقطة(E) وبالتالي
فإن (C=E) لأنهما يقعان على نفس المنحنى
كما ان(C ) تقع على منحنى الناتج رقم(2)
وكذلك النقطة ((Dاذن(C=D ),وبما ان C=D,C=E
اذن (E=C) وهذا غيرمنطقي لأن (E) تقع على منحنى انتاج اغلى مما تقع عليه النقطة (D ) فالمنطق يقول ان المنحنيات لاتتقاطع .
4- كلما زادت كمية العناصر الداخلة في العملية الانتاجية فإننا نحصل على مستويات اكبر من الناتج ومن هنا يمكننا الحصول على خريطة منحنيات للناتج المتساوي , حيث يمثل كل واحد منها مستوى معين من الانتاجاي انه كلما ابتعدنا عن نقطة الاصل كلما ارتفع مستوى الناتج الادنىالى انتقال المنحنى الى اعلى وهكذا وان ذلك يعود الى استخدام عناصر اكبر في العملية الانتاجية .














معدل الاحلال الحدي الفني (MRTS )
Marginal Rate of Technical Substitution
يعرف بأنه ذلك المقدار الذي يجب التنازل عنه من عنصر من عناصر الانتاج رأس المال مثلاً مقابل احلال عنصر الانتاج الاخر العمل بوحدة واحدة ليبقى على نفس مستوى الانتاج او العكس , ويمكن قياسه رياضياً وكالاتي :-
L2-l1)) / K2-k1) )- = L ? / K?-MRTSl,k=

التوليفة L K L ? / K?-RTSl,k=
A 1 20 -
B 2 15 5:1
C 3 11 4:1
D 4 8 3:1
E 5 6 2:1
F 6 5 1:1









(اشتقاق معدل الاحلال الحدي الفني )
نلاحظ من الجدول والشكل اعلاه ان لأنتاج لسعة ما عند التوليفة (A) نستخدم (20) وحدة من (K) مقابل وحدة واحدة من (L) , اما عند التوليفة (B) نستخدم ((15 وحدة من ((K مقابل (2) وحدة من ( L ) وهذا يعني ان معدل الاحلال الحدي الفني مساوي (5:1 ) أي اننا نستغني عن (5 ) وحدات من ((K في سبيل الحصول على وحدة واحدة من (L) وهكذا كلما اتجهنا الى نهاية الجدول والشكل قلت الوحدات التي يمكن ان نضحي بها من((K مقابل الحصول على وحدة واحدة من (.(L
من هنا يمكن ان نمثل MRTS بأنه (ميل منحنى الانتاج بين اكثر من نقطة من نقاط منحنى الناتج المتساوي) . ويمكن توضيح MRTS بالشكل البياني الاتي :-















يوضح الشكل السابق ام التوليفات ( (A,B تشير الى ان التوليفة ( (Aتنتج (0L1) من عنصر العمل زائدا ((0K1 من عنصر رأس المال , فإذا انتقانا إلى التوليفة((B ينتج نفس الناتج باستخدام (0L2) من عنصر العمل زائداً ((0K2 من عنصر رأس المال , وفي حالة الانتقال من التوليفة ((A إلى التوليفة ((B فإننا علينا استخدام كمية من عنصر ((L بمقدار((L1L2 بمقدار عنصر ((K
بمقدار ) K1K2 ) وهذا يعني قد تم أحلال( (L1L2 من عنصر العمل (K) بمقدار ) K1K2 ) من عنصر رأس المال وأن نسبة التغير هذه تسمى بمعدل أحلال الحدي الفني .
ويمكن اشتقاقه كالأتي :ـ KMPK=0 L . MPL+?
K.MPK L . MPL= -?

MRTSL,K = K? - = MPL
L? MPK
اذ ان :
MPK,MPL= الانتاجية الحدية لعنصري العمل ورأس المال

خط التكاليف المتساوية :- Isolute Costs Line
يمثل هذا الخط التوليفات المختلفة من عنصري الانتاج (k,l ) التي تستطيع المنشأة شراؤها في حدود المبلغ المخصص لعناصر الانتاج واسعارها هذه العناصر .
فإذا اردنا ان نعرف افضل توليفة من عنصري الانتاج على منحنى الناتج المتساوي علينا رسم خط التكاليف عن طريق الاتي :-
نفرض ان مصنعا معينا ينفق على شراء ((k,l مبلغ من المال مقداره ((c وبافتراض الشكل الاتي الذي يوضح التكاليف المتساوية .

















من الشكل اعلاه نلاحظ انه اذا انفق المصنع مبلغ اجمالي قدره ( (c على عنصر العمل فقط فانه سيحصل على ( (0A وحدة من عنصر ((L وبنفس الشئ على عنصر ((K فانه سيحصل على ((0B من هذا العنصر ,وعند ربط النقطتين B,A بخط مستقيم فإننا سنحصل على خط التكاليف المتساوية حيث تتساوى تكاليف عنصري الانتاج عند جمع النقاط التي تقع على ((AB والذي يمثل خط التكلفة وبالتالي أي توليفة من ((K,L تقع على (AB) تمثل اجمالي الانفاق والذي يكون مساوياً الى ((C .
ويمكن توضيح خط التكاليف بما يلي : نفرض ان سعر الوحدة من عنصر ((L هي ((W وسعرها من عنصر ((K هو ((r وان اجمالي المبلغ المنفق على العنصر (L) مضروبا في الكلية هي ((WL والمبلغ المنفق على العنصر (K) مضروباً في الكلية ((rk ,وبما ان اجمالي المبلغ المفترض على الانفاق هو((c فان:
C=wl+ rk
اذ ان =wهي سعر وحدة العمل
r= هي سعر وحدةرأس المال
c= الانفاق الكلي
K,l=تمثلات الكمية المستخدمة من العنصرين
واذا حلت ((k محل((c نحصل على :-
K=c/r – (w/r)l
وبما ان ((c ,((r ,((w ثوابت فإن هذه المعادلة عبارة عن خط مستقيم سالب الميل .
ان افضل توليفة في الشكل السابق هو عند النقطة ((n حيث عند هذه النقطة يكون منحنى الناتج تتساوى مماساً لخط التكاليف عند النقطة(0Lo) لعنصر العمل مضافاً اليه ((0ko من عنصر رأس المال فعندهذه التوليفة تستطيع المنشأة انتاج ((A0 وحدة من الناتج عند نفس الانفاق الاجمالي ((C.
في حالة تغير المبلغ المخصص لعنصري الانتاج مع افتراض ثبات اجورالعمال وسعر رأس المال فإن ذلك يترتب عليه انتقال خط التكلفة المتساوي الى جهة اليمين في حالة الزيادة في القدرة الناشئة على الشراء ويتجه نحو اليسار في حالة عجز الناشئ على تشغيل عناصر انتاج وكما مبين ادناه :-








الامثلية في الانتاج (المزج الامثل لعناصر الانتاج) Optimization in Production
يصل المنتج الى الوضع المتوازي أي انتاج اكبر قدر ممكن من الناتج بالانفاق المخصص له عندما يصل الى اعلى منحنى انتاج متساوي ممكن بالشروط المفروضة عليه الخاصة بمقدار ((c واسعار عناصر الانتاج((r,w .
1- عندما يمس خط التكلفة اعلى منحنى ناتج متساوي حيث ان :-
MTRSL,K = PL(w) = MPL
MPk Pk(r)
فإن شروط تدنية التكاليف ينص على مايلي :-
ميل منحنى الناتج المتساوي = ميل التكلفة المتساوية
ويمكن كتاية القانون السابق بالصيغة الاتية :-
MPL = MPK
w r
أي ان المنشأة تدني تكلفة انتاج المستوى معين
من الناتج بإستعمال الموارد بشكل تكون معه الانتاجية الحدية للوحدة الواحدة متساوية بالنسبة لجميع العناصر.
2- عندما تكون دالة التكاليف C=wL +rk
أي ان توازن المنتج عبارة عن الاستخدام الامثل لعناصر الانتاج من اجل
أ- تعظيم الانتاج ب – تحقيق اقصى ربح ممكن بأقل تكلفة .
ولغرض توضيح الاسلوب الرياضي للحصول على القيم العظمى والدنيا لدوال الانتاج نفرض لدينا الدالة الاتية :-
Z= f(x,y)
حيث x,y هما المتغيران المستقلان
ولغرض جعل هذه الدالة عند نهايتها العظمى او الصغرى فإن :-
1- المشتقات الجزئية الاولى لهذه الدالة يجب ان تساوي صفر أي (الشرط الضروري ).
2- ايجاد المشتقة الجزئية الثانية للدالة (الشرط الكافي )لأيجاد القيم الحرجة فإذا كانت القيم موجبة هي نهايات صغرى أي Zxx ,Zyy >0 وسالبة في حالة النهايات العظمى Zxx,Zyy<0 .
3- ان تكون قيمة حاصل ضرب المشتقات الجزئية المتقاطعة Zxx*Zyy>(Zxy)


مثال : مصنع ينتج نوعين من السلع ( y، x ) وكانت دالة أنتاجها على الشكل ألأتي .
7 16 2 2 2 2 32
?? =6?4x –2?X + 4 x y – 4y + 3?2 y - 1?4
المطلوب : 1. اوجد مستوى إنتاج كل من السلعتين y , x الذي يحقق أعظم الإرباح
2. تأكد من كون الدالة عند نهايتها العظمى
3. ماهي أعظم الإرباح .
الحل : 1. نستخرج المشتقات الجزيئة الأولى ونساويها بالصفر
(( الشرط الضروري ))
? x = 64 –4?x + 4y = 0
? y = 4?x – 8y + 32 = 0
وبجمع المعادلتين نحصل على ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
96 - 4y = 0 y = 96 = 24 4
X = 40
2ـ أيجاد الشرط الكافي المشتقات الجزئية الثانية .
Zxx (? xx) = - 4< 0
Zyy (? yy) = - 8 < 0
y =4 Z x
2 2
Z xx * Z yy >(Zxy) ?>(-4 ) (-8 ) > ( 4 ) ?> 32 > 16
أي ان الدالة تكون عند نهايتها العظمى عند y=24 , x = 40
أما أعظم أرباح فهي
2 2
??? = 64(40) – 2( 40) +4(40)(24) – 4(24)+ 32(24)- 14
?= 2560 – 3200 + 3840 – 2304+768 – 14
? = 7168 – 5518 = 1650
مثال: أذا كانت لديك الدالة الآتية:
2 2
Z= 3x +2y- xy – 4x – 7y +12
أوجد :1ـ القيم المتطرفة (الحرجة) .
2 ـ أختبر الدالة كونها في نهايتها العظمى أم الصغرى .
3 ـ أوجد قيمة الدالة عند النقطة الحرجة .

الحل: 1ـ نستخرج المشتقات الجزئية الأولى ونساويها بالصفر

الشرط الضروري:

Zx = 6x –y – 4 = 0}
Zy = 4y – x – 7 = 0} ضرب المعادلة في 4
24x – 4?y – 16 =0 }
4?y – x – 7 =0} بالجمع
- y = 2 X=1 23x-23=0

2 ـ نستخرج المشتقات الجزئية الثانية ( الكافي )

Z xx = 670 Zyy = 4 > 0 نهاية صغرى
2
24 > 1 >?Zxy = -1 6*4 > (-1)
3 ـ أستخرج قيمة الدالة عند النقاط الحرجة
Z =3 + 8 – 2 -4 -14 +12
Z =3
-----------------------------------------------------------------------------------------