مسائل رياضية

مثال (2 - 8):
جد الحل الأمثل لنموذج البرمجة الخطية التالي باستخدام الطريقة المبسطة.
Max x_0=15x_1+12x_2+14x_3
s.to
x_1+x_2+x_3?100
10x_1+4x_2+5x_3?600
2x_1+2x_2+6x_3?300
x_1,x_2,x_3?0
الحل:
Basic variables Non – basic variables R.H.S Ratio
x_1 x_2 x_3 S_1 S_2 S_3
S_1 1 1 1 1 0 0 100 100
S_2 10 4 5 0 1 0 600 60
S_3 2 2 6 0 0 1 300 150
x_0 -15 -12 -14 0 0 0 0

المتغير الداخل هو (x_1), والخارج (S_2).
Pivot Equation= [1,4/10,5/10,0,1/10,0,60]= [1,2/5,1/2,0,1/10,0,60]
New (S_1 )=[?(1@1@?(1@1@?(0@0@100)))]-{1[?(1@2/5@?(1/2@0@?(1/10@0@60)))]}=[?(0@3/5@?(1/2@1@?(-1/10@0@40)))]
New (S_3 )=[?(2@2@?(6@6@?(0@1@300)))]-{2[?(1@2/5@?(1/2@0@?(1/10@0@60)))]}=[?(0@6/5@?(5@0@?(-2/10@1@180)))]
New (x_0 )=[?(-15@-12@?(-14@0@?(0@0@0)))]-{-15[?(1@2/5@?(1/2@0@?(1/10@0@60)))]}=[?(0@-6@?(-13/2@0@?(3/2@0@900)))]
يتكون لدينا جدول الحل الثاني التالي:
Basic variables Non – basic variables R.H.S Ratio
x_1 x_2 x_3 S_1 S_2 S_3
S_1 0 3?5 1?2 1 -1?10 0 40 80
x_1 1 2?5 1?2 0 1?10 0 60 120
S_3 0 6?5 5 0 -2?10 1 180 36
x_0 0 -6 -1 3?2 0 3?2 0 900

يكون المتغير الداخل (x_3) والخارج (S_3).
Pivot Equation= [1,6/25,1,0,-0.04,1/5,36]
New (S_1 )=[?(0@3/5@?(1/2@1@?(-1/10@0@40)))]-{1/2 [?(0@6/25@?(1@0@?(-0.04@1/5@36)))]}=[?(0@24/50@?(0@1@?(-4/50@-1/10@22)))]
New (x_1 )=[?(1@2/5@?(1/2@0@?(1/10@0@60)))]-{1/2 [?(0@6/25@?(1@0@?(-0.04@1/5@36)))]}=[?(1@0.28@?(0@0@?(0.12@-0.1@42)))]
New (x_0 )=[?(0@-6@?(-6.5@0@?(1.5@0@900)))]-{-6.5[?(0@0.24@?(1@0@?(-0.04@1/5@36)))]}=[?(0@-4.44@?(0@0@?(1.24@1.3@1134)))]
يتكون لدينا جدول الحل الثالث التالي:

Basic variables Non – basic variables R.H.S Ratio
x_1 x_2 x_3 S_1 S_2 S_3
S_1 0 0.48 0 1 -0.08 -0.1 22 45.8
x_1 1 0.28 0 0 0.12 -0.1 42 150
x_3 0 0.24 1 0 -0.04 0.2 36 150
x_0 0 -4.44 0 0 1.24 1.3 1134

يكون المتغير الداخل (x_2) والخارج (S_1).
Pivot Equation= [0,1,0,2.08,-0.17,-0.21,45.8]
New (x_1 )=[?(1@0.28@?(0@0@?(0.12@-0.1@42)))]-{0.28[?(0@1@?(0@2.08@?(-0.17@-0.21@45.8)))]}=[?(1@0@?(0@-0.58@?(0.17@-0.04@29.18)))]
New (x_2 )=[?(0@0.24@?(1@0@?(-0.04@0.2@36)))]-{0.24[?(0@1@?(0@2.08@?(-0.17@-0.21@45.8)))]}=[?(0@0@?(1@-0.5@?(0.001@0.25@25)))]
New (x_0 )=[?(0@-4.44@?(0@0@?(1.24@1.3@1134)))]-{-4.44[?(0@1@?(0@2.08@?(-0.17@-0.21@45.8)))]}=[?(0@0@?(0@9.24@?(0.5@0.37@1137.35)))]
يتكون لدينا جدول الحل الرابع التالي:

Basic variables Non – basic variables R.H.S
x_1 x_2 x_3 S_1 S_2 S_3
x_2 0 1 0 2.08 -0.17 -0.21 48.8
x_1 1 0 0 -0.58 -0.17 -0.04 29.18
x_3 0 0 1 -0.5 0.001 0.25 25
x_0 0 0 0 9.24 0.5 0.37 1337.35

بما أن جميع معاملات دالة الهدف هي أكبر أو تساوي صفر (C_j?0) فقد تم التوصل إلى الحل الأمثل:
x_1=29.18, x_2=48.8,x_3=25,x_0=1337.35
فإذا كان مثالنا يتعلق بإنتاج أحدى المصانع فيعني ذلك أن أنتاج (29) وحدات من المنتوج (x_1) وأن أنتاج (49) وحدات من المنتوج (x_2) وأن أنتاج (25) وحدات من المنتوج (x_3) يحقق لذلك المصنع أكبر ربح وهو (1338) وحدة نقدية.