مثال عن تعظيم الارباح

مثال (7):- شركة تنتج ثلاثة أنواع من السيارات ذو حجم صغير وحجم متوسط وحجم كبير وتعتمد هذه الشركة على المواد الأولية من مادة الستيل وساعات العمل في عملية انتاج السيارات, حيث أن انتاج وحدة واحدة من السيارات الصغيرة الى (1.5) طن من مادة الستيل ويحتاج الى (30) ساعة عمل, وكذلك الى النوع الثاني سيارات متوسطة الحجم يحتاج الى (3) طن من مادة الستيل, ويحتاج الى (25) ساعة عمل , وكذلك بالنسبة الى النوع الثالث من السيارات كبيرة الحجم الى (5) طن من مادة الستيل, ويحتاج الى (40) ساعة عمل. ان الكميات المتاحة من مادة الستيل هي (6000) طن من مادة الستيل , و (60000) ساعة عمل متاحة لدى الشركة, وهذه الشركة يكون انتاجها مشروط بحجم الدفعة الانتاجية لكل نوع آن لايقل عن (1000) سيارة من كل نوع لكي يكون القرار الانتاجي قرار ذو جدوى اقتصادية. وان ربح الوحدة الواحدة من النوع الأول (2000), والنوع الثاني من السيارات هو ($3000) اما النوع الثالث فهو ($4000).
المطلوب تعظيم الارباح وفق هذه الشروط.
Example (7):-Company manufacturing three types of care: compact, midsize, and large. The resources required for, and profits yielded by, each type of car are shown in table (9). At present, 6000 tons of steel and 60000 hours of labor are available. For production of a type of car to be economically feasible, at least 1000 cars of that type must be produced formulate an IP to maximize company s profit).
type small medium large
Steel required (tons)1.5 (tons)3 (tons)5
Labor required (hours)30 (hours)25 (hours)40
profit 2000$ 3000$ 4000$

الحل: نعرف انواع السيارات فنفرض المتغير X1 يمثل عدد السيارات المنتجة من النوع الأول, والمتغير X2 يمثل عدد السيارات المنتجة من النوع الثاني المتغير X3 يمثل عدد السيارات المنتجة من النوع الثالث ولذلك سيكون النموذج الرياضي وفق الصيغة الاتية:
Max Z= 2000X1+3000X2+4000X3
من خلال شروط الانتاج لكل دفعة انتاجية من أي نوع من الانواع الثلاثة يجب ان تكون (1000) سيارة او اكثر ولتحقيق ذلك لابد من توفر القيود الثلاثة وهي:?
Constraint-1: X1<=0 or X1>=1000.
Constraint-2: X2<=0 or X2>=1000.
Constraint-3: X3<=0 or X3>=1000.

وبما ان الامكانيات المتاحة محدودة وهي كميات الاستيل وساعات العمل لذلك ستستخدم الشركة على الأكثر (6000) طن , وعلى الأكثر تستخدم (60000) ساعات عمل لذلك سيتم استبدال القيد الأول بالقيد المزدوج الاتي:
X1?M1y1 ; 1000-X1?M1(1-y1) ; y1=0 or 1
ومن المعلوم ان ( X1-1000) ,(x1) لاتزيد عن M1 وان قيمة ال( MI) تحدد على اقل كمية انتاج من النوع الأول وفق امكانيات كمية الستيل والساعات المتاحة للعمل ضمن المعاملات التكنلوجية لتصنيع وحدة واحدة من النوع الصغير فتحدد قيمتها من خلال (30/6000) وهي اكبر كمية يمكن انتاجها من هذا النوع من السيارات (2000) سيارة, وبنفس الاسلوب نستبدل القيد الثاني للمنتج الثاني (2) بالقيد المزدوج الاتي:
X2?M2y2 ; 1000-X2?M2(1-y2) ; y2=0 or 1
وان قيمة ال (M2) تحدد على اقل كمية انتاج من النوع الثاني وفق امكانيات كمية الستيل والساعات المتاحة للعمل ضمن المعاملات التكنلوجية لتصنيع وحدة واحدة من النوع المتوسط فتحدد قيمتها من خلال (3/6000) وهي اكبر كمية يمكن انتاجها من هذا النوع من السيارات (2000) سيارة , وبنفس الاسلوب نستبدل القيد الثالث للمنتج الثالث (X3) بالقيد المزدوج الاتي:-
X3?M3y3 ; 1000-X3?M3(1-y3) ; y3=0 or 1
وان قيمة ال (M3) تحدد على اقل كمية انتاج من النوع الثالث وفق امكانيات كمية الستيل والساعات المتاحة للعمل ضمن المعاملات التكنلوجية لتصنيع وحدة واحدة من النوع الكبير فتحدد قيمتها من خلال (6000 / 5 ) وهي اكبر كمية يمكن انتاجها من هذا النوع من السيارات (1200) سيارة. ويمكن ان نحدد قيد رابع لكمية الستيل المتاحة لاانتاج ثلاثة أنواع من السيارات وفق القيد الرابع الموضح أدناه:
1.5X1+3X2+5X3<=6000 (steel constraint-4).
ونجد القيد الخامس لكمية ساعات العمل المتاحة لاانتاج ثلاثة أنواع من السيارات وفق القيد الخامس الموضح أدناه:?
30X1+25X2+40X3<=60000(Labor constraint-5).