مسائل رياضية

مثال (2 - 6):
جد الحل الأمثل لنموذج البرمجة الخطية التالي باستخدام الطريقة المبسطة.
Max x_0=2x_1+4x_2
s.to
x_1+2x_2?20
4x_1+2x_2?40
x_1,x_2 ?0
الحل:
تحويل النموذج إلى الصيغة القياسية وكما يأتي:
Max x_0-2x_1-4x_2-0 S_1-0 S_2
s.to
x_1+2x_2+S_1=20
4x_1+2x_2+S_2=40
x_1,x_2 ,S_1,S_2?0
تصميم جدول الحل الأساسي الممكن وكما يأتي:
Basic variables Non – basic variables R.H.S Ratio
x_1 x_2 S_1 S_2
S_1
1 2
1 0 20 20?2=10
S_2 4 2 0 1 40 40?2=20
x_0 -2 -4
0 0 0
القيمة المحورية العمود المحوري الصف المحوري
يكون المتغير الداخل (x_2) كونه يقابل أكبر قيمة سالبة (4) في صف دالة الهدف. أما المتغير الخارج فهو (S_1) كونه يقابل أقل قيمة موجبة (10) في عمود النسبة. أما القيمة المحورية فهي حاصل تقاطع الصف مع العمود المحوريين. يمكن حساب المعادلة المحورية من خلال قسمة قيم الصف المحوري على القيمة المحورية:
Pivot Equation= [1/2,2/2,1/2,0,10]= [1/2,1,1/2,0,10]
يتم حساب القيم الجديدة لدالة الهدف و (S_2):
New (x_0 )=[?(-2@-4@?(0@0@0))]-{4[?(1/2@1@?(1/2@0@10))]}=[?(0@0@?(2@0@40))]
New (S_2 )=[?(4@2@?(0@1@40))]-{2[?(1/2@1@?(1/2@0@10))]}=[?(3@0@?(-1@1@20))]
سيكون جدول الحل الثاني كما يأتي:
Basic variables Non – basic variables R.H.S

x_1 x_2 S_1 S_2
x_2 1?2 1 1?2 0 10
S_2 3 0 -1 1 20
x_0 0 0 2 0 40

بما أن جميع معاملات دالة الهدف هي أكبر أو تساوي صفر (C_j?0) فقد تم التوصل إلى الحل الأمثل:
x_1=0, x_2=10,x_0=40
فأذا كان مثالنا يتعلق بأنتاج أحدى المصانع فيعني ذلك عدم أنتاج أي وحدة من المنتوج (x_1) وأن أنتاج (10) وحدات من المنتوج (x_2) يحقق لذلك المصنع أكبر ربح وهو (40) وحدة نقدية.