محاضرة ثالثة

الوسيط المكاني او الموقع المكاني
هو الذي يتوسط بقية المواقع الأخرى ويمثل مركز القلب لتوزيعها المكاني بحيث يقع نصفها الى الشرق منه ويقع النصف الأخر إلى الغرب كما يقع نصف المواقع الى الشمال منه ويقع النصف الأخر إلى الجنوب ونستطيع تحديد موقع الوسيط على الخرائط بدون استخدام أي معادلات إحصائية بل بتحديد نقطة تقاطع محورين متعامدين يقسم كل منهما المواقع الى نصفين متساويين .وإذا كان بالإمكان تحديد موقع الوسيط او الوسيط المكاني بنقطة تقاطع احداثيين يقسم كل منهما التوزيع المكاني للمواقع الى قسمين متساويين فان بالإمكان رسم أكثر من احداثيين يحققان هذا الشرط أي ان بالإمكان تحديد أكثر من وسيط واحد لذلك يستخدم في الجغرافية لتحديد الموقع الوسيط وهو الموقع الذي تكون المسافة التي تفصل بينه وبين المواقع الأخرى ، اقل من المسافة التي تفصل بين تلك المواقع و أي مكان آخر فلو فرضنا وجود عدد من المواقع على طريق عام و أردنا اختيار موقع مناسب يقدم خدمات عامة لتلك المواقع بحيث يكون مجموع المسافة التي تفصله عن تلك المواقع اقل من المسافة التي تفصلها عن أي مكان آخر فان ذلك الموقع هو الموقع الوسيط .
ومن اجل تمثيل الوسيط المكاني يجب ان نتبع الخطوات التالية
1- تحسب الظواهر من حيث عددها في كل مربع على المحورين
2- يقسم مجموع هذه النقاط على اثنين أي مجموعتين سواء على المحور الأفقي والعمودي
3- نرسم خط التنصيف الذي ينصف عدد النقاط على المحور الأفقي والمحور العمودي
بعبارة أخرى ان عدد النقاط خارج الخط تساوي عدد النقاط داخل الخط حيث ان نقطة تقاطع خط التنصيف لكل من المحور الأفقي والمحور العمودي هو يسمى مركز الوسيط المكاني .

خصائص الوسيط:-
1- ان من خصائص القيمة الوسيطة إنها لا تتأثر بالقيم المتطرفة في العينة حيث أن قيمة الوسيط تعتمد على عدد القيم في العينة و ليس على قيم هذه المفردات لذلك فأن الوسيط يكون البديل النافع عن الوسط الحسابي في حالة وجود قيم شاذة في العينة

2- إن إيجاد قيمة الوسيط تخضع الى الاسلوب الجبري و لذلك فأن القيمة المحسوبة تكون مستقره عند قيمه معينه و غير قابله للتغير باختلاف الباحثين

3- إن مجموع الانحرافات المطلقة لقيم مفردات العينة عن قيمة الوسط الوسيط يكون في نهايته الصغرى او انه اقل من مجموع الانحرافات المطلقة لقيم مفردات العينة عن أي قيمه أخرى غير قيمة الوسيط

مزايا و عيوب الوسيط:-

أ‌- ميزات الوسط

1- بساطة فكرته
2- سهل الفهم و الحساب
3- يمكن تقدير قيمة الوسيط عن طريق التخمين و التأمل
4- يمكن تعينه هندسيا
5- لا يتأثر إطلاقا بالقيم الشاذة و المتطرفة
6- يمكن حسابه في حالة التوزيعات التكراريه المفتوحه من طرف واحد او طرفين
7- يمكن تعينه في حالة البيانات الوصفيه
8- يمكن ايجاده في حالة التوزيعات ذات الفئات غير المتساوية الاطوال

ب- عيوب الوسيط

1- لا يخضع للعمليات الجبريه
2- يتأثر على نحو كبير بأخطاء المعاينه
3- لا يستند في حسابه على كافة البيانات المتاحه حيث انه بمجرد
معرفة ترتيب الوسيط تحدد قيمته في حالة البيانات غير المبوبه
و تهمل بقية القيم الاخرى و كذلك الحال بالنسبة للتوزيعات
التكراريه عند علمنا بفأة الوسيط تهمل بقية الفأت الأخرى







- المنوال The mode

في بعض العينات نلاحظ ان بعض المفردات تتكرر قيمتها في العينة او في المجتمع بعدد من التكرارات اكبر من تكرار أي قيمة أخرى ,إن هذه المفردة ذات التكرار المتميز عن بقية المفردات الأخرى يمكن اعتبارها موقع تمركز واستقطاب مفردات تلك العينة,حيث أضاف تميز تكرارها خصوصية لها من حيث إنها تمثل استقطاب لبقية المفردات في العينة .يطلق على المفردة التي يقابلها اكبر التكرارات في العينة بالقيمة المنوالية للعينة او منوال العينة وهي احد مقاييس التوسط او التمركز للعينات او المجتمعات .
إذا كانت لدينا البيانات التالية والتي تمثل الدرجات التي حصل عليها مجموعة من الطلبة في امتحان مادة العراق وهي :61, 58, 63, 68 ,75 ,74 ,63, 63, 57 65,
نلاحظ ان الدرجة 63 قد تكررت ثلاث مرات وهذا التكرار اكبر من التكرارات أي من الدرجات الباقية وبذلك تكون الدرجة 63 قيمة منوال عينة الدرجات والتي يمكن اعتبارها مركزا لاستقطاب هذه العينة أو مركز موقعها .ان من السهل إيجاد القيمة المنوالية او قيمة منوال العينة عندما تكون البيانات في العينة غير مبوبة
ومن ذلك يمكن تعريف المنوال بأنه تلك القيمة التي تتكرر أكثر من غيرها من بين مجموعة من القيم او إنها القيمة الشائعة من بين مجموعة القيم.


إيجاد المنوال للبيانات المبوبة:

وتشمل الفئات المستمرة والتي يكون لكل فئة من هذه الفئات حدا أعلى وحدا أدنى ومركزا وهنا يجب ان يكون أطوال الفئات متساوية فلا يصح ان تكون قيمة المنوال في فئة تكرارها يزيد على تكرار أي من الفئات الأخرى بعدة مفردات ولكن طولها يزيد على ضعف أطوال الفئات الأخرى أي أن تمييز الفئة المنوالية في زيادة تكراراتها على بقية الفئات شرط تشابه الظروف الأخرى ومنها أطوال هذه الفئات لأننا نستطيع ان ندمج عدة فئات يبعضها وبذلك يتراكم تكرارها ويمكن ان يصبح مجموع التكرارات يزيد على الفئة التي تضم المنوال فعلا .
عندما تتساوى أطوال الفئات فيطلق على الفئة التي يقابلها اكبر التكرارات الفئة التي تضم قيمة المنوال او الفئة المنوالية.وهنالك طريقتين لإيجاد المنوال




1- طريقة مركز الفئة
مثال:- اوجد المنوال بطريقة مركز الفئة للبيانات التالية:
C F
20 - 7
40- 15
60- 19
80- 22
100 -120 16

ان أعلى قيمة تكرارية هي 22 تقابلها الفئة 80 لذلك فأن

مركز الفئة =/2 80 +100) )
= 90

2- طريقة الرافعة (كنج)
L×/f1 +f2) M = a +(f1
حيث ان a تمثل بداية الفئة المنوالية
f1 تمثل تكرار الفئة المنوالية – تكرار الفئة قبل المنوالية
f2 تمثل تكرار الفئة المنوالية – تكرار الفئة بعد المنوالية
L تمثل طول الفئة .

مثال:- اوجد المنوال للبيانات التالية بطريقة الرافعة(كنج)


C F
20- 6
40- 10
60- 15
80- 9
100-120 12

20×( M= 60 +( (15-10)/(15-10)+(15-9)
60+5/11*20 =

= 60 + 9.09 = 69.09
خواص المنوال:

1-المنوال ليس مقياسا يدخل في حسابه كل مفردات التوزيع
2-المنوال ليس مقياسا يمكن ضربه في عدد المفردات في المجموعة لينتج المجموع الأصلي
3-لا يتأثر المنوال بالقيم الشاذة او المتطرفة سواء كانت صغيرة او كبيرة
4-المنوال لا يمثل القيمة الوسطى في التوزيع

مزايا وعيوب المنوال:
أ‌- مزايا المنوال
3- انه مقياس سهل الفهم والحساب
4- يكن تقدير المنوال عن طريق التخمين والتأمل
5- يمكن إيجاد النوال لبيانات متغير وصفي(نوعي) .مثلا لو كانت تقديرات طالب معين في مجموعة امتحانات هي متوسط،متوسط،مقبول،متوسط،جيد،متوسط،جيد فأن المنوال في هذه الحالة هو التقدير متوسط باعتباره قد تكرر أكثر من غيره.
6- ان المنوال لا يتأثر إطلاقا بالقيم الشاذة والمتطرفة.
7- يمكن إيجاد المنوال في حالة التوزيعات التكرارية المفتوحة من طرف واحد او طرفين .
8- يمكن تعيين المنوال هندسيا.

ب‌- عيوب المنوال Demerits of the mode
1- يتأثر المنوال وعلى نحو كبير بأخطاء المعاينة .
2- لا تستند عملية إيجاده إلى كافة البيانات المتاحة ،حيث انه بمجرد ملاحظة اكبر تكرار يتم معرفة المنوال او فئته وعندئذ تمهل كافة القيم الأخرى أو الفئات الأخرى .
3- لا يخضع للعمليات الجبرية.



4- الوسط التوافقي Harmonic mean
وهو احد مقاييس النزعة المركزية وهو مقلوب الوسط الحسابي لمقلوبات هذه القيم .ويفضل استخدامه على باقي المتوسطات في حالة إيجاد معدل السرعات ومعدلات التغيير .ولا يمكن استخدامه في حالة إذا كانت إحدى هذه القيم مساوية الى الصفر

طرق حساب الوسط التوافقي :-
1- حساب الوسط التوافقي من بيانات غير مبوبة
H = n /?(1/X)
حيث ان n تمثل عدد المتغيرات
X تمثل قيمة المتغير

مثال:-اوجد الوسط التوافقي للبيانات التالية والتي تمثل اعداد العمال في معامل النسيج في مدينة الحلة
30 ,40,20,80

H = 4
1 + 1 +1 + 1
80 20 30 40


36.36=H= 4/0.11

2- حساب الوسط التوافقي المرجح
عندما تكون قيم الوحدات مرجحة بتكرارات او أوزان في توزيع تكراري فان طريقة إيجاد الوسط التوافقي لا تختلف عن حالة إيجاده عندما تكون البيانات غير مبوبة مع إجراء التعديل المناسب في صيغة المعادلة

H = ?T/?(T/X)
حيث ان T تمثل الوزن , X تمثل قيمة المتغير
مثال:- اوجد الوسط التوافقي المرجح لمحيط الاشجار علما ان مراكز محيطات سيقان الاشجار هي على التوالي
105 , 95 , 85 , 75 , 65 , 55
وان أوزانها كما يلي
22 ,38 , 72 , 67 , 53 , 28

H = (22+38+72+67+53+28) / (22/105 +38/95 + 72/85 +67/75 +53/65 +28/55)
= 280 / 3.67
= 76.2

3- حساب الوسط التوافقي من بيانات مبوبة
H = ?F/(?F/X)
حيث ان F تمثل التكرارات
X تمثل مركز الفئة
مثال: اوجد الوسط التوافقي للتوزيع التكراري الذي يمثل توزيعا لعدد من المزارعين في مزرعة معينة حسب فئات الأجر الشهري
F/X X F C
2/6 = 0.3 6 2 4-
8/10 = 0.8 10 8 8-
6 / 14 = 0.4 14 6 12-
4 / 18 = 0.2 18 4 16-
10 /22 = 0.4 22 10 20-24
1.1 30

H = 30/1.1 = 27.2


مزايا وعيوب الوسط التوافقي


أ-ميزات الوسط التوافقي

1- بساطة فكرته

2- ان حسابه يستند الى كافة البيانات المتاحة دون استثناء

3- خضوعه للعمليات الجبرية

4- لا يتأثر كثيرا بأخطاء المعاينة

ب-عيوب الوسط التوافقي

1- هنالك بعض الصعوبة في طرق حسابه

2- لا يمكن تحديد قيمة الوسط التوافقي إذا كانت إحدى قيم المتغير العشوائي مساوية للصفر أو إن احد مراكز فئات التوزيع التكراري كان مساويا للصفر

3- لا يمكن إيجاد قيمته في حالة التوزيعات التكرارية المفتوحة من طرف واحد او كلا الطرفين

4- لا يمكن حساب قيمته في حالة فقدان قيمة او أكثر من قيم العينة

5- لا يمكن حساب قيمته في حالة البيانات الوصفية (النوعية)

6- لا يمكن تعينه هندسيا.

مقاييس التشتت

غالبا ما تكون الفروق بين المشاهدات ووسط تلك المشاهدات مثلا في عينة وحيدة مفيدة .نفس الوسيط يمكن ان ينتج من عينة باختلافات داخلية عالية ومنخفضة .فإذا كنت تخطط لشراء سيارة مثلا يمكن ان تخطط لاختيار السيارة التي تريدها على اساس الاقتصاد في استهلاكها للوقود. لنفرض انه أمامك نوعان من السيارات وكلاهما متوسط سيره 27ميلا للجالون الواحد.ولكن نفرض انك تعلم بأن النوع a يشمل بعض السيارات المعينة التي تقطع 33 ميلا للجالون والبعض الأخر قد يصل الى 18 ميلا للجالون كذلك ان السيارات من نوع b تقطع مابين25,30 ميلا للجالون وكبديل يمكن ان نختار النوع a
النقطة هنا هي ان الاختلافات هي التي تشكل الأساس لقرارك وليس النزعة المركزية .