محاضرة رابعة

وهنالك عدة مقاييس للتشتت منها:

(1)-المدىRange
يعد المدى من ابسط مقاييس التشتت وأسهلها .ويعرف المدى بأنه الفرق بين اكبر المشاهدات وأصغرها .فالعينة 15,29,25,12,13,27.5,11,28,17, تمثل القيمة ((5 أصغر مفردة فيها بينما تمثل القيمة 29)) اكبر القيم ولذلك فأن :
المدى24 = 29-5
رغم ان المدى يمثل احد مقاييس التشتت لأنه يعتبر من ابسط هذه المقاييس وأضعفها.بسيطا لأننا نستطيع إيجاد قيمته بسهولة .وضعيفا لأنه لا يعطي الصورة الدقيقة عن طبيعة انتشار المفردات وإنما يكون انعكاسا للفرق بين القيمتين الطرفيتين في العينة .أي لا يعكس انتشار بقية المفردات والتي لا دور لها في إيجاد قيمة المدى .
ان قيمة المدى للعينة لا تتغير عندما تثبت قيمة المفردة الصغيرة والمفردة الكبيرة فيها وتتغير قيمة المفردات الباقية الأخرى داخل المدى حتى لو وضعت بقية المفردات في نقطة واحدة بعيدة او قريبة من قيمة الوسط الحسابي او أي مقياس من مقاييس النزعة المركزية فأن ذلك لا يؤثر على قيمة المدى المحسوب لتلك العينة.
يعمد الاحصائيون في بعض الحالات من اجل التخلص من تأثير القيم المتطرفة الى استبعاد اصغر مفردة واكبر مفردة في العينة بعد ذلك تحسب قيمة المدى للمفردات الباقية في العينة والتي تكون الفرق بين قيمتي ثاني مفردة من القيم الكبيرة وثاني مفردة من القيم ألصغيره + واحد. وفي المثال السابق تكون قيمة المدى الجديد
28 – 11 +1 = 18
بالنسبة للبيانات المبوبة تحسب قيمة المدى على نفس المبدأ المتبع عند حساب قيمة المدى للبيانات غير المبوبة.
قيمة المدى = قيمة مركز اكبر فئة – قيمة مركز اصغر فئة
مثال :- البيانات في الجدول التالي تمثل توزيع مجموعة من طلبة كلية التربية موزعين حسب فئات طول القامة مقدرة بالسنتمترات والمطلوب حساب المدى لطول قامة الطلبة
مركز الفئة عدد الطلبة طول القامة
152.5 28 150-
157.5 37 155-
162.5 45 160-
167.5 42 165-
172.5 17 170-
177.5 11 175-180
ان الحد الأدنى للفئة الأولى يساوي 150 سم ومركزها 152.5 وحدها الأعلى يساوي 155 سم بينما يكون الحد الأدنى للفئة الأخيرة 175 سم ومركزها 177.5 وحدها الأعلى يساوي 180 سم وبذلك فأن قيمة المدى :
المدى = مركز الفئة الأخيرة – مركز الفئة الأولى
25= 177.5 - 152.5
عندما يستعمل المدى للمقارنة بين مجموعتين فأن المجموعة التي قيمة مداها (تشتتها ) اقل تكون أكثر تجانس من المجموعة الأخرى .


مزايا وعيوب المدى
1- مزايا المدى
يتميز المدى بسهولة حسابه ووضوح معناه ولذا فانه يستخدم لإعطاء فكرة أولية سريعة عن مدى تشتت البيانات وانتشارها . ويستخدم المدى بشكل خاص في التطبيقات العملية للعلوم المختلفة فهو يستخدم في الاقتصاد لمراقبة جودة الإنتاج الصناعي كما يستخدم في الطب لوضع حدود مقبولة لأداء أعضاء الجسم كعدد نبضات القلب , ضغط الدم ،نسبة السكر.
ويستخدم المدى في بعض فروع الجغرافية مثل الجغرافية المناخية والجيمورفولوجيا ، فهو يستخدم في الجغرافية المناخية لقياس المدى اليومي لدرجة الحرارة الذي يمثل الفرق اليومي بين درجتي الحرارة العظمى والصغرى ،كما يقيس المدى الحراري السنوي الذي يمثل الفرق بين معدل درجة حرارة ابرد الشهور وأدفئها ، ويعبر عن درجة قارية المناخ كما انه يستخدم لحساب قرائن مناخية أكثر تقدما مثل قارية المناخ . ويستخدم المدى في الجيمورفولوجيا لقياس درجة التضرس الذي يمثل فرق الارتفاع بين أكثر الأماكن ارتفاعا واخفضها . كما يستخدم في الدراسات التي تعنى بتصميم السدود ومصارف مياه الأمطار ومشاريع الري والصرف ومكافحة البيانات.
2- عيوب المدى
أهم عيوب المدى هي بساطته المفرطة وتأثره الشديد بالقيم المتطرفة إذ لا يستخدم عند حسابه سوى قيمتين فقط هما اكبر المشاهدات وأصغرها أما المشاهدات الأخرى فلا تدخل في حسابه إطلاقا ولا يوضح المدى تشتتها إطلاقا غير انه من الممكن التغلب على هذه المشكلة عن طريق عمل جدول تكراري يتم فيه تقسيم المدى الى فئات وتصنيف المشاهدات ضمن تلك الفئات إذ أن ذلك الجدول يبين كيفية توزيع المشاهدات ضمن حدود المدى نفسه .
يستخدم هذه الاسلوب بشكل خاص في الدراسات الجغرافية التي تتعلق بتقدير سهولة الوصول الى مواقع محددة كأماكن العمل ومراكز التسوق والمنتجعات السياحية والمراكز العلاجية .


(2)-الانحراف المتوسط Mean Deviation
عند استخدام المدى لتحديد انتشار الظواهر والعينات ان هذا المقياس يتأثر بوجود قيم شاذة في العينة ويقل مثل هذا التأثر عند إجراء التغيرات مثل حذف بعض المفردات الشاذة او جميعها او استبداله بنصف المدى وذلك بحذف ربع المفردات الواقعة في الطرف الأدنى من العينة وربع المفردات الواقعة في الطرف الأعلى ،وكذلك عند استخدام أي نسبة أخرى عند حذف نسب مئوية من المفردات من طرفي العينة .
عند اتخاذ مثل هذه الإجراءات يبرز ضعف جديد في مثل هذه المقاييس وهو عدم مساهمة جميع المفردات في تحديد قيمة المقياس نتيجة لمثل هذه الاستبعاد لبعض المفردات من العينة وبذلك تكون معالجة النقص بنقص جديد لذلك عمد الاحصائيون لوضع مقياس أخر لقياس تشتت العينات او المجتمعات وهو مقياس متوسط الانحراف المطلق ويعرف بأنه متوسط الانحرافات المطلقة لقيم وحدات العينة او الظاهرة عن قيمة وسطها الحسابي .
بما انه مجموع انحرافات قيم الوحدات عن وسطها الحسابي يساوي صفرا ،لذلك فأن معدل الانحرافات الاعتيادية لا يؤشر حالة انتشار قيم المفردات بصورة تميز بين تشتت العينات ولذلك فان استبدال متوسط الانحرافات بمتوسط الانحرافات المطلقة لتجنب تأثير الإشارة في قيم تلك الانحرافات .
ويعرف الانحراف المتوسط بأنه متوسط مجموع الانحرافات المطلقة عن المتوسط الحسابي .

طرق حساب الانحراف المتوسط:-

أ‌- حساب الانحراف المتوسط لبيانات غير مبوبة

Md = ?d/ n
حيث ان d يمثل انحرافات القيم عن الوسط الحسابي
n يمثل عدد المتغيرات.


مثال:- اوجد الانحراف المتوسط للبيانات التالية

3 , 8 , 11 , 13 , 14 , 5
M = (3 + 8 + 11 + 13 + 14 +5 )/6 = 9
d = x – m
3 – 9 = -6
8 – 9 = -1
11- 9 = 2
13 – 9 = 4
14 – 9 = 5
5 – 9 = -4
نهمل الإشارة السالبة 22
M = 22/6 = 3.6
ب- حساب الانحراف المتوسط لبيانات مبوبة

Md = ?df / ?f
مثال:- اوجد الانحراف المتوسط للتوزيع التكراري لدرجات مجموعة من الطلبة في امتحان معين
df d fx x f C
565.5 37.7 450 30 15 20-
212.4 17.7 600 50 12 40-
32.4 2.3 980 70 14 60-
200.7 22.3 810 90 9 80-
549.9 42.3 1430 110 13 100-120
1560.7 4270 63

m=?fx /?f=4270/63 = 67.7

A = 1560.7 / 63 = 2407
مزايا وعيوب الانحراف المتوسط

أ‌- ميزات الانحراف المتوسط

1- إن حسابه يعتمد على كافة البيانات المتاحة

2- انه مقياس سهل الفهم والحساب

3- خضوعه للعمليات الجبرية

ب‌- عيوب الانحراف المتوسط

1- إهمال الإشارات السالبة للفروق عند عملية حسابه

2- لا يمكن حساب قيمته في حالة التوزيعات التكرارية المفتوحة من طرف واحد او طرفين.


3- لا يمكن حسابه في حالة البيانات الوصفية

4- تتأثر قيمته في حالة وجود قيم شاذة ومتطرفة


5- يتأثر وعلى نحو كبير بأخطاء المعاينة



(3)- الانحراف المعياريdeviation Standard
ويسمى في بعض الأحيان بالانحراف القياسي ويعتبر هذا المقياس بحق افضل مقاييس التشتت على الإطلاق لما يمتاز به من ميزات مثلى جعلته يقف في مقدمتها عن التطبيق.
هو يعرف الانحراف المعياري بأنه الجذر ألتربيعي الموجب لمتوسط مجموع مربعات انحرافات قيم المتغير العشوائي عن وسطها الحسابي .
1- حساب الانحراف المعياري لبيانات غير مبوبة

أ‌- طريقة الانحراف المعياري البسيط

S = ?[?xˆ2 /n – (?x/n)ˆ2]

مثال :- اوجد الانحراف المعياري للبيانات التالية:
3,5,8,4,7,2
?x = 3 + 5+ 8+ 4+ 7 + 2 = 29
?xˆ2 = 9 + 25 + 64 + 16 + 49 + 4 = 164
S = ?164/6 – (29/6)ˆ2 = ?27.3 – 23.3 = ?4 =2
ب- طريقة الانحرافات
S = ?[?dˆ2/n]
مثال:- اوجد الانحراف المعياري بطريقة الانحرافات للبيانات التالية
1, 5 , 2 , 8 , 4
M = (1 + 5 + 2 + 8 + 4 )/5 = 4
d = 3 – 4 = - 1 dˆ2 = 1
d = 5 - 4 = 1 1
d = 2 – 4 = - 2 4
d = 8 – 4 = 4 16
d = 4 - 4 = 0 0
22
S = ?22/5 = ?4.4 = 2.09

2-حساب الانحراف المعياري لبيانات مبوبة
أ- باستخدام نفس البيانات

S = ?[(fxˆ2)/?f]-[(fx/?f)ˆ2]

مثال :- اوجد الانحراف المعياري للتوزيع التكراري التالي
fxˆ2 fx xˆ2 x f c
50 10 25 5 2 4-
412 56 49 7 8 6-
810 90 81 9 10 8-
1452 132 121 11 12 10-
1352 104 169 13 8 12-14
4076 392 45 40

S = ? [4076 / 40) – (392 / 40 )ˆ2]
= ? (01.9 – 96)= ?5.9 = 2.4

ب- باستخدام الانحرافات
S = ?[? fdˆ2/?f) – (?fd / ?f)ˆ2]
حل السؤال السابق بطريقة الانحرافات
fdˆ2 fd dˆ2 d
32 -8 16 -4
32 -16 4 -2
0 0 0 0
48 24 4 2
128 32 16 4
240 32
S = ?[ (240/40) –(32/40)ˆ2]
= ?6-0,6 =?5.4 = 2.4
مزايا وعيوب الانحراف المعياري


أ‌- مميزات الانحراف المعياري

1- إن حسابه يعتمد على كافة البيانات المتاحة

2- انه مقياس سهل الفهم والحساب

3- خضوعه للعمليات الجبرية

4- قابليته للتجزئة والاندماج


ب-عيوب الانحراف المعياري

1- لا يمكن حساب قيمته في حالة التوزيعات التكرارية المفتوحة من طرف واحد او طرفين

2- لا يمكن حسابه في حالة البيانات الوصفية

3- تتأثر قيمته في حالة وجود قيم شاذة أو متطرفة

4- يتأثر وعلى نحو كبير بأخطاء المعاينة




المسافة المعيارية
تشبه المسافة المعيارية في مفهومها الانحراف المعياري ،وهي تعد من أهم مقاييس التشتت ، أو ألانتشار للتوزيعات المكانية . وتساوي المسافة المعيارية لأي توزيع مكاني الجذر ألتربيعي لمربع انحرافات احداثيات النقاط أو المواقع عن المتوسط المكاني لذلك التوزيع . ويمكن حساب المسافة المعيارية بالمعادلة التالية:-
Sd = ?[(?xˆ2/n)-(?x/y)ˆ2]+[(?yˆ2/n)-(?y/n)ˆ2]



مثال:-أذا كانت لدينا أبعاد خمس مدن عن ألاحداثي الشرقي (x) وألاحداثي ألشمالي (y) فأحسب المسافة المعيارية لها
yˆ2 xˆ2 البعد عن y البعد عن x
36 9 6 3
4 1 2 1
1 25 1 5
9 4 3 2
4 16 2 4
54 55 14 15


Sd = ?[(55/5)-(15/5)ˆ2] + [ (54/5) –(14/5)ˆ2]
= ? (11 – 9) + (10.8 – 2.8) = ?(2 + 8)=?10 =3.16





الانحراف ألربيعي quartile deviation

يعرف الانحراف الربيعي بأنه متوسط الفرق بين الربيع الثالث والربيع الأول لمجموعة من البيانات سواء كانت بيانات غير مبوبة أو بيانات مبوبة في توزيع تكراري.إن استخدام الانحراف الربيعي أفضل من استخدام المدى وذلك عن طريق ترتيب قيم المجموعة ترتيبا تنازليا أو تصاعديا ثم نحذف ربع القيمة من كل من الطرفين ونكتفي بالنصف الأوسط لمجموعة القيم وبذلك نتخلص من القيم المتطرفة.

حساب الانحراف الربيعي للبيانات الغير مبوبة

ترتيب الربيع الأدنى T1 =(n+1)/4
ترتيب الربيع الأعلى 3× T2 = (n+1)/4]
Q = (b2 – b1)/2
مثال:- اوجد الانحراف الربيعي للبيانات التالية
6,12,3,5,4,8,9,22,13,18,21,16,31,2 ,39,34,36
نرتب تصاعديا
3,4,5,6,8,9,12,13,16,18,21,22,28,31,34,36,39
T1= (17 + 1)/4 = 18/4 = 4.5
3 = 13.5 × T2 = 4.5
1 = 8.25× b1 = 8 + 1.25
28 + 2.5 = 30.5 =3×B2 = 28 + (3/4)
Q = (30.5 – 8.25)/2 = 11.12







حساب الانحراف الربيعي للبيانات المبوبة
ترتيب الربيع الأدنى T1 = ?f / 4
ترتيب الربيع الأعلى 3 ×T2 =( ?f/4)
L ×] /n2 (t1-n1) [+ a1= b1
L × b2 = a2 +[(t2- n1)/n3]
حيث أن b1 تمثل قيمة الربيع الأدنى
b2 تمثل قيمة الربيع الأعلى
T1تمثل ترتيب الربيع الأدنى
T2ترتيب الربيع الأعلى
n1 تكرار متجمع صاعد للفئة قبل الربيعية
n2 التكرار الأصلي لفئة الربيع الأدنى
n3 التكرار الأصلي لفئة الربيع الأعلى
L طول الفئة
a1 الحد الأدنى للفئة التي يقع فيها الربيع الأدنى
a2 الحد الأدنى للفئة التي يقع فيها الربيع الأعلى
Q =( b2 – b1)/2
مثال:- اوجد الانحراف الربيعي للبيانات التالية
f متجمع صاعد f c
6 6 5-
14 8 7-
24 10 9-
40 16 11-
49 9 13-
56 7 15-17
56
T1= 56/4 = 14
3 =42 ×T2=14
2 = 9 × B1= 9 +[(14 -14)/10]
13.44 =2×B2= 13 + [(42-40)/9]
Q= (13.44-9)/2=4.44/2=2.2
خواص الانحراف الربيعي


1- من النادر أن يتأثر ألانحراف الربيعي بالانحرافات المتوسطة


2- يمكن حسابه في حالة التوزيعات التكرارية المفتوحة


3- يعتبر الانحراف الربيعي مقياساً لمراكز القيم


4- يعتبر الانحراف الربيعي مفيداً في حالة الالتواء الشديد


5- في حالة المنحنيات التكرارية المتماثلة فأن الوسيط يقع في منتصف المسافة بين الربيعين .
















منحني لورنزLorenz index



يستخدم منحني لورنز بكثرة في المجالات الاقتصادية حيث يعمد الباحثون إلى تقسيم محوري الرسم البياني إلى تقسيمات متساوية تمثل كل تقسيم نسبة مئوية متساوية من كل محور. من ذلك يكون الرسم البياني في توزيع منحني لورنز مربع الشكل وعدد تقسيمات كل من ضلعيه تنتهي بالنسبة100 %.
من استخدامات منحني لورنز هو بيان العدالة في توزيع الثروة القومية ، فأن من المفروض في حالة العدالة المطلقة إن مجموع ما يملكه المواطنين كنسبة مئوية إلى مجموع الثروة يساوي نسبة هؤلاء المواطنين إلى مجموع المواطنين . وهذه النسبة تمثلها دائما نقاط واقعة على القطر الذي يصل بين نقطة الأصل والنقطة المقابلة لها وكلما ابتعد منحني التوزيع عن هذا القطر كلما اشر ذلك الاختلاف في عدالة التوزيع سلبا أو إيجابا وان المساحة الواقعة بين القطر ومنحني التوزيع تمثل منطقة أو نسبة الانحياز في التوزيع.
كذلك يستخدم الجغرافيون منحني لورنز لقياس درجة التركز في التوزيعات المكانية كما يستخدمونها أيضا لقياس مدى الانتشار في تلك التوزيعات . ومن الاستخدامات الرئيسة لها قياس مدى اختلاف التوزيعات التكرارية عن التوزيع المنتظم.ويستخدمها البعض لقياس درجة تخصص إقليم معين في إحدى الصناعات أو الخدمات، كما تستخدم عند دراسة سكان المدن الكبيرة لقياس درجة تركز شرائح معينة من السكان في أحياء محددة دون غيرها.





مثال:-

الجدول التالي يمثل مساحة الأراضي الزراعية المملوكة وعدد المالكين وقد وزعوا على الفئات المبينة ،و يبين العدد التصاعدي للمالكين والمساحة التراكمية للأراضي المملوكة ثم النسب المئوية التصاعدية للمالكين والنسب المئوية التصاعدية التي تقابلها للأراضي المملوكة.


الفئة (دونم) 0-50 -50 -100 -400 -1000 -200 5000
عدد المالكين 10820 25450 12310 7540 2130 923
التكرار التصاعدي للمالكين 10820 36270 48580 56120 58250 59173
مساحة الأرض المملوكة 270500 1272500 3077500 5278000 3195300 3230500
المجموع التراكمي للأرض المملوكة 270500 154300 4620500 9898500 13093500 16324000
النسب المئوية التراكمية للمالكين 18% 61% 82 % %95 %98 %100
النسب المئوية التراكمية لمساحة الأرض 7% 10% 28% %61 %80 %100