المشكله الثنائيه

المشكلة الثنائية: Dual Problem
ان لكل نموذج البرمجة الخطية هناك نموذج مقابل (ثنائي بديل )ويسمى بالنموذج المقابل (الثنائي والبديل) ويتضمن النموذج الثنائي نفس البيانات التي يحتويها النموذج الاصلي (الاولي)
لاحظنا في البرمجة الخطية ان حل مشروع مشكلة ما بطريقة السمبلكس , وجد ان هنالك اسلوبا اخر يتم فيه التوصل الى نفس النتائج ويطلق عليه اسلوب الحل الثنائي (المقابل ,الازدواج) وكل مسألة تحل بطريقة السمبلكس هناك امكانية حلها بالاسلوب الثنائي وبالعكس
ان الفائدة المنتظرة من الحل الثنائي هي سهولة اجراء العمليات مقارنة بطريقة السمبلكس فأذا كانت لدينا ثلاث متغيرات اساسية مع وجود عشرة قيود للمشكلة فأن عدد القيود في الاسلوب الثنائي سيكون ثلاثة وهذا سيؤدي الى الاسراع في الحل وسنصل الى نفس النتيجة فيما لو استخدمنا طريقة السمبلكس 0

لماذا يتم التحويل للنموذج الثنائي (المقابل):
من فوائد التحويل من النموذج الاولي الى النموذج الثنائي
1- الحصول على نموذج يحتوي على عدد اقل من القيود وبذلك سوف يختصر العمل الحسابي لجداول السمبلكس و الوصول الى الحل الامثل والحصول على نفس الحل المثالي سواء كان الحل للنموذج الاولي او الحل للنموذج الثنائي 0
2- للتخلص من الاشارة السالبة من الجانب الايمن (ان وجدت)اي عندما تكون المصادر ذات كميات سالبة وهو اهم مايمكن الحصول عليه في حالة التحويل الى النموذج الثنائي0
3- لغرض التعرف على ابعاد المشكلة الاخرى ( المشكلة الثنائية ,البديلة ) فاذا كان النموذج الاولي وبصيغة ال Max اي المشكلة بالصيغة الربحية فبامكاننا التعرف على النموذج الثنائي ويكون بصيغة ال Min وتمثيله للجانب الكلفوي ( في نفس المشكلة ) , ولفنس المشكلة المعبر عنها اولا بالصيغة الاولية


اهمية النموذج المقابل :
1-حل مشكلة البرمجة الخطية ومن خلال المشكلة الثنائية ( النموذج المقابل ) قد يكون اسهل من حلها من خلال المشكلة الاولية (عندما يكون من الممكن اختصار عدد القيود في المشكلة الثنائية )
2-يعيد النموذج الثنائي( المقابل ) اثر التغيرات في معاملات دالة الهدف وثوابت الطرف الايمن ومعرفة المجال الذي تتحقق فيه نتائج الحل الامثل
3-يعطي النموذج الثنائي ( المقابل ) كثيرا من الحقائق الاقتصادية التي تساعد على تفهم ابعاد المشكلة وبخاصة فيما يتعلق بأسعار الظل



الخطوات العامه لتكوين المشكلة الثنائية (النموذج الثنائي المقابل ) Dual
1-نحدد متغير بديل غير سالب لكل قيد من قيود المشكلة الاولية
2-معاملات دالة الهدف في المشكلة الاولية تصبح ثوابت الطرف الايمن لقيود المسالة الثنائية
3-ثوابت الطرف الايمن في المشكلة الاولية تصبح معاملات دالة الهدف في المشكلة الثنائية
4-تعكس اتجاه القيود في المشكلة الثنائية الى الاتجاه الاخر عندما كانت عليه القيود في المشكلة الاولية , فاذا كانت القيود مثلا من نوع اكبر او يساوي في المشكلة الاولية فانها تعكس في المسالة الثنائية الى اقل او يساوي والعكس صحيح
5-يعكس اتجاه دالة الهدف فاذا كانت تعظيم Max دالة الهدف في احد النموذجين فيقلب الى تصغير في النموذج الاخر او بالعكس



العلاقة بين المشكلة الاولية والمشكلة الثنائية:
1 -الاولية تأخذ(Max) والثنائية تأخذ(Min) وبالعكس
2-حدود القيود في المشكلة الاولية تحول الى معاملات دالة الهدف والعكس صحيح
3-المتغيرات في المشكلة الاولية Xi يقابلها في المشكلة الثنائية Yi
4-معاملات دالة الهدف تتحول الى حدود القيود في المشكلة الثنائية
5 –حدود القيود? في المشكلة الاولية يقابلها ? في المشكلة الثنائية والعكس صحيح
6_معاملات القيود الافقية تتحول الى معاملات قيود عمودية
1- اذا كان للمشكلة الاولية حل امثل فالمشكلة الثنائية لها حل امثل ايضا ويساوي حل المشكلة الاولية
2- اذا كان للمشكلة الاولية حلا غير معروف فأن الحل في المشكلة الثنائية ايضا لايوجد فيها حل